圏論復習その４ - kakujiroのblog

1.4 圏同値とその判定法

前回圏同値を定義したところまで来ました。これは圏同型より弱い概念として定義したものですが、そもそもダウングレードさせた理由の一つは、圏同型の概念が強すぎて具体例がほぼ存在しないことにありました。

なので本記事では圏同値が具体的にどう現れるのかについて述べたいと思います。それに先立ち圏同値の定義を復習しておきましょう。

定義：二つの圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ が圏同値であるとは、二つの関手 $F \colon \mathcal{C} \rightleftharpoons \mathcal{D} \colon G$ および自然同型 $\eta \colon 1 _ {\mathcal{C}} \Rightarrow GF$ 、 $\varepsilon \colon FG \Rightarrow 1 _ {\mathcal{D}}$ が存在することをいう。

気持ちとしては $c\in \mathcal{C}$ および $d\in \mathcal{D}$ に対して、 $c \cong GFc$ かつ $FGd \cong d$ であって、この同型が自然に保たれる（自然同型）ということでした。

では早速圏同値の例を見て行きたいのですが、上の定義を愚直に確かめるのは非常に大変です。というのも関手はともかく自然変換も自分で定義して、それが自然同型であることまでチェックしないといけないからです。

何もないところに自然変換を自力で作り出すのは相当の審美眼がないとなかなか厳しいでしょう。しかも例1つを確かめるのにそれだけの労力をかけるのは効率的とは言えません。

以上が前振りとなるのですが、実はとっても簡単な判定法がちゃんと存在します！これが今日のメインの半分です。

まずはこの判定法を述べるための用語をいくつか準備します。

定義：関手 $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が

（１）忠実（faithful）であるとは、 $\mathcal{C} (c, c') \to \mathcal{D} (Fc, Fc')$ が単射であることをいう。すなわち $c, c' \in \mathcal{C}$ およびその間の射 $f, f' \colon c \to c'$ に対して、 $Ff = Ff'$ ならば $f = f'$ が成り立つ。

（２）充満（full）であるとは、 $\mathcal{C} (c, c') \to \mathcal{D} (Fc, Fc')$ が全射であることをいう。すなわち $c, c' \in \mathcal{C}$ に対して、任意の射 $g \colon Fc \to Fc'$ はある $f \colon c \to c'$ によって $g=Ff$ と書ける。

（３）本質的全射（essentially surjective）であるとは、任意の $d \in \mathcal{D}$ に対してある $c \in \mathcal{C}$ が存在して $Fc \cong d$ が成り立つことをいう。すなわち同型による同一視のもとで対象間の全射が成り立つ。

補足：上の定義で出てきた $\mathcal{C} (c, c')$ ですが、これは対象 $c, c'$ 間の射のなす集合¹を表す記号です。たとえば実ベクトル空間 $V, W$ の間の射は $\mathrm{Vect} _ {\mathbb{R}} (V, W)$ と表します。

これを踏まえて、以下がメインの定理になります。

定理（圏同値の判定法）： $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が圏同値を誘導するならば、 $F$ は忠実充満かつ本質的全射である。もし選択公理を仮定するならばこの逆も成り立つ。すなわち $F$ が忠実充満かつ本質的全射であるならば、 $F$ は圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 間の圏同値を定める。

証明概略： $(\Rightarrow)$ $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が圏同値を定めるとすると、 $\varepsilon _ d \colon FGd \cong d$ より本質的全射は明らか。また $c, c' \in \mathcal{C}$ に対して $\eta 1 _ {\mathcal{C}} \cong GF$ が自然同型なことから $\mathcal{C} (c, c') \cong \mathcal{D} (Fc, Fc')$ と分かるので、忠実充満も明らかである。

$\require{AMScd} \begin{CD} c @>\eta _ c>\cong> GFc \\ @VfVV @VVGFfV \\ c' @>\eta _ {c'}>\cong> GFc' \end{CD}$

$(\Leftarrow)$ $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が忠実充満かつ本質的全射であるとする。すると本質的全射性から任意の $d \in \mathcal{D}$ に対して $\{ c \in \mathcal{C} \mid Fc \cong d \}$ は空ではないので、選択公理より各 $d \in \mathcal{D}$ に対して $(Gd \in \mathcal{C}, \varepsilon _ d \colon FGd \cong d)$ の組を選ぶことができる。

今定めた対応 $G \colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ は奇跡的に関手をなし、 $\varepsilon _ d \colon FGd \cong d$ は自然同型になることが確かめられる。あとは $F$ の忠実充満性から自然同型 $\eta \colon 1 _ {\mathcal{C}} \cong GF$ も定めることができ、これが圏同値の定義を満たすことが確認できる。（証明終）

証明の最後は駆け足でしたが、やることは愚直なので省略しました。

ではこの定理を用いて圏同値の例を一つ見て終わることにしましょう。

例：圏 $\mathrm{Mat} _ {\mathbb{R}}$ を次のように定める。対象は１以上の整数で、射 $n \to m$ は $n$ 行 $m$ 列の実行列とする。射の合成は行列の積で与えることにするとこれは圏の公理を満たす。

一方有限次 $\mathbb{R}$ ベクトル空間のなす圏を $\mathrm{Vect} _ \mathbb{R} ^ {\mathrm{fd}}$ と書くことにすると、関手 $F \colon \mathrm{Mat} _ {\mathbb{R}} \to \mathrm{Vect} _ \mathbb{R} ^ {\mathrm{fd}}$ を $n \mapsto \mathbb{R} ^ n$ として定めることができる。

有限次ベクトル空間には次元が不変量として定まることから $F$ は本質的全射かつ、 $\mathrm{Mat} _ {\mathbb{R}} (n, m) \cong \mathrm{Vect} _ \mathbb{R} ^ {\mathrm{fd}} (\mathbb{R} ^ n, \mathbb{R} ^ m)$ は明らか。

よって $\mathrm{Mat} _ {\mathbb{R}}$ と $\mathrm{Vect} _ \mathbb{R} ^ {\mathrm{fd}}$ は圏同値の関係にある。（証明終）

この例でわかるように、圏同値を構成するはずの逆向きの関手 $\mathrm{Vect} _ \mathbb{R} ^ {\mathrm{fd}} \to \mathrm{Mat} _ {\mathbb{R}}$ の構成には何も触れていません。片側の関手の存在しか言ってないのに圏同値という対称的な構造の成立が言い切れてしまうのが上の定理の最大の強みです。

さて、ここまでで圏同値が「大体似ているもの」という認識は持てたと思います。しかし完全には同じではない（圏同型よりも弱い）ため、じゃあ実際どこまでが似ていてどこからが違うのかが気になります。次回は圏同型でどんな性質なら保たれるのかを探っていくことにします。終わり。

ここで集合と書きましたが、一般に $\mathcal{C} (c, c')$ が集合のサイズに収まる確証はありません。しかし $\mathrm{Set}$ や $\mathrm{Vect}$ といったよく見る圏ではこれは成り立っているので、ここではそのような圏を対象とします。一般に任意の $c, c' \in \mathcal{C}$ に対して $\mathcal{C} (c, c')$ が集合のサイズに収まるような圏をlocally small categoryと呼びます。small categoryという用語もあり、それは圏の中のすべての射の集まりが集合をなすものを指します。例えば群 $G$ の定める圏[\mathrm{B} G]などが該当しますがここでは扱いません。↩