圏論復習その３ - kakujiroのblog

1.3 自然変換

前回関手を導入しました。これにより異なる圏の間の射が定義できたことになるので、圏の同型も定義できることになります：

定義（圏の同型）：２つの圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ およびその間の関手 $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が存在するとき、関手 $F$ が同型であるとは、逆向きの関手 $G \colon \mathcal{D} \to \mathcal{C}$ が存在して $GF = 1 _ {\mathcal{C}}$ かつ $FG = 1 _ {\mathcal{D}}$ を満たすことをいう。

しかしこの定義は実は「嬉しくない」定義です、というのも現に圏同型になるような具体例がほぼ存在しないからです。むしろよくある例は $GFc \cong c$ のように、行って帰ってきた対象が元々の対象と同一ではないにせよ同型ではある、というパターンです。なのでそのようなケースを圏の同型として定義したほうが役に立つでしょう。そのためには自然同型の概念が必要になります。（本来の動機はこういう理由ではないです、以下の例を参照）

定義：（１）圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ 間に二つの関手 $F, G \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ が定まっているとする。このときこれらの間の自然変換 $\alpha \colon F \Rightarrow G$ とは

各 $c \in \mathcal{C}$ に対して射 $\alpha _ c \colon Fc \to Gc$ の集まりからなり、
圏 $\mathcal{C}$ 上の任意の射 $f \colon c \to c'$ に対して以下の図式が可換になる：

ものをいう。

$\require{AMScd} \begin{CD} Fc @>\alpha _ c>> Gc \\ @VFfVV @VVGfV \\ Fc' @>\alpha _ {c'}>> Gc' \end{CD}$

（２）自然変換 $\alpha \colon F \Rightarrow G$ が自然同型であるとは、 $\alpha$ の各成分 $\alpha _ c$ が全て同型であるものを指す。このとき $\alpha \colon F \cong G$ と表す。

自然変換を導入する動機はまさに以下の例から来ています。寧ろ自然変換を定義するために関手や圏を定義したと言っても、歴史的にはあまり間違ってはいないらしい：

例：有限次 $\mathbb{R}$ ベクトル空間 $V$ に対して、 $V$ とその二重双対 $V^ {\ast \ast}$ との間には自然なevaluation map

$\mathrm{ev}_ V \colon V \to V ^ {\ast \ast} ; v \mapsto [\varphi \mapsto \varphi(v)$ ] （ここで $\varphi \in V ^ {\ast}$ ）

が存在して、これは $V$ と $V^ {\ast \ast}$ の間の同型を与えます。さらにこれは任意のベクトル空間の射 $f \colon V \to W$ に対して下図の可換性を満たすので、 $\mathrm{ev} \colon 1 _ {\mathrm{Vect}_ {\mathbb{R}}} \Rightarrow (-) ^ {\ast \ast}$ は自然変換になっています。

$\require{AMScd} \begin{CD} V @>ev _ V>> V ^ {\ast \ast} \\ @VfVV @VVf ^ {\ast \ast}V \\ W @>ev _ W>> W ^ {\ast \ast} \end{CD}$

一方 $V$ の基底を何か取ったとき、その双対基底は $V ^ {\ast}$ の基底をなすので $V \cong V ^ {\ast}$ の同型も存在しますが、これは上の図式を可換にしないので自然変換にはなりません。

線形代数において双対との同型は基底を取らないといけなくて、二重双対との同型には基底の固定が不要であることは、すなわち同型が自然かどうかでうまく定式化できるのがポイントです。

最後に自然変換を用いて圏同型の概念を少し緩めた圏同値を定義して終わりにします。

定義：二つの圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ が圏同値であるとは、二つの関手 $F \colon \mathcal{C} \rightleftharpoons \mathcal{D} \colon G$ および自然同型 $\eta \colon 1 _ {\mathcal{C}} \Rightarrow GF$ 、 $\varepsilon \colon FG \Rightarrow 1 _ {\mathcal{D}}$ が存在することをいう。

この定式化はまさに冒頭で述べたような $GFc \cong c$ を実現していることを確認してください。