2020-04-26

圏論復習その２

数学

前回圏の定義を与えました。圏論のモチベーションには圏の比較があったので、今日は圏の間の射である関手を定義します。

1.2 関手

関手の定義は非常に簡潔です：

定義：圏 $\mathcal{C}, \mathcal{D}$ の間の関手(functor) $F \colon \mathcal{C} \to \mathcal{D}$ とは

対象 $c \in \mathcal{C}$ を対象 $Fc \in \mathcal{D}$ に移し、
$\mathcal{C}$ の射 $f \colon c \to c'$ を $\mathcal{D}$ の射 $Ff \colon Fc \to Fc'$ に移す

もので、次の関手性(functoriality)を満たすものを言う：

恒等射は恒等射に移す（ $F(1_c) = 1_{Fc}$ ）
$\mathcal{C}$ の合成可能な射の組 $f, g$ に対して $F(gf) = Fg\cdot Ff$

圏とは乱暴に言えば対象と射の集まりなので、要は関手とは圏のデータを圏のデータに移すものです。（ただし関手の像だけ見ても一般には圏になりません。簡単な反例が存在します。）

例１：簡単な例に忘却関手(forgetful functor)と言うのがあります。これは $\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}} \to \mathrm{Set}$ のような集合の上の構造を忘れる関手のことで、関手性を満たすことは明らかです。

例２：上の例は当たり前すぎて何かの役に立つようには一見見えません。もう少し面白い例は基本群(fundamental group) $\pi_1 \colon \mathrm{Top}_{\ast} \to \mathrm{Group}$ です。位相幾何の話になるので厳密な定義はここでは避けますが、位相空間(topological space) $X$ の基本群とは $X$ の一点 $x \in X$ を取ったときに $x$ を起点とするループのうち連続変形させても一致することがないようなものがいくつあるかを表します。

例えば

中身の詰まった円板 $D$ の基本群は $1$ です（どんなループも縮めれば１点にできる）。
円周 $S^ 1$ の基本群は整数環 $\mathbb{Z}$ です（円周に紐を何回巻きつけたかは連続変形で保たれる）。

基本群の像は群構造を持っていて尚且つ関手的なことが厳密に証明出来るのですが、この例の面白いところはたったこれだけの事実からかなり非自明な定理が導き出せる点にあります：

定理（ブラウアーの不動点定理）：円板 $D$ を再び円板 $D$ に移すような任意の連続関数 $f$ は必ず不動点を持つ。すなわちある $x \in D$ が存在して $f(x) = x$ .

証明：不動点を持たない連続関数 $f$ が存在したと仮定する。すると円板上の任意の点 $x \in D$ に対して $f(x) \neq x$ なので、始点 $f(x)$ で $x$ を通る半直線が常に定義できる。この半直線と円周との交点を $r(x)$ としよう。 $x$ が円周上の点であれば $r(x)=x$ なので、次の合成射は恒等射になる：

$S^ 1 \hookrightarrow D \xrightarrow{r} S^ 1$

ここに $\pi_1$ の関手性を用いると、以下の合成射も恒等射である：

$\pi_1(S^ 1) \to \pi_1(D) \xrightarrow{\pi_1(r)} \pi_1(S^ 1)$

しかし $\pi_1(S^ 1) = \mathbb{Z}$ 、 $\pi_1(D) = 1$ なので、そんな合成射が存在するはずない。（証明終）

位相幾何学や代数幾何学ではこの手の関手性を用いた議論は頻繁にする印象です。関手性は定義自体非常にシンプルなのに一気に数学的議論を飛躍させてくれる点が面白いですね。

次回は関手の射である自然変換を定義します。これで圏論の最主要人物たちは全て出揃います。

2020-04-25

圏論復習その１

数学

圏論まとめ作ると宣言してから１週間経ってしまった。。LaTeX記法をどうやってはてなブログで使えるか調べてたら億劫になって放置状態になってました。今日こそ書きますが、初めての数式込みの投稿なので内容は薄めです。（あとついでにマークダウン記法にも挑戦）

1.1 圏の定義、反圏

1.1 圏の定義、反圏

まずそもそもの圏論の意義ですが、思いつくのは以下の2つです：

1. 異なる数学的対象の同一視を厳密に行う

１つ目は本にもある内容ですが、数学では異なる２つの対象が似た挙動を示すことが多くあります。例えばベクトル空間の同型を例にとると、 $\mathbb{R} (1, 0)$ と $\mathbb{R} (0,1)$ は $\mathbb{R}^ 2$ の $x$ 軸と $y$ 軸で別物ですが１次元のベクトル空間としては全く同じ挙動を示します。

上の例は「ベクトル空間内での」同一視ですが、圏論は「数学的対象としての」同一視を行います。ベクトル空間という数学的対象が集合という数学的対象と同じものかどうか、という具合で同一視するレベルが一段上がっている訳です。

特に未知の数学的対象のなす圏が実はベクトル空間の圏と同型でした、とわかったりすると基底の存在やジョルダン標準形の存在など一気にわかることが増えて嬉しい訳ですね。

2. 脳筋で数学的操作ができる

2つ目は、上述のことから圏論は個別の数学的実態には依存しないので一般論で結構な程度数学的操作ができてしまいます。いちいち具体的に集合の元を取ったりしなくて良いので複雑な議論を一気に吹っ飛ばせるメリットがあります。

以上のお気持ちを述べた上で圏の定義が以下になります：

定義：圏(category) $\mathcal{C}$ とは

対象(object) $X, Y, Z, \cdots$ および
射(morphism) $f, g, h, \cdots$

の集まりであって次を満たすものをいう：

各射はdomainおよびcodomainという対象をもち、 $f \colon X \to Y$ のように表される
各対象 $X$ は恒等射(identity) $1_X \colon X \to X$ を持つ
射に対して
- fのcodomainとgのdomainが一致している今のような状況では合成射 $g f \colon X \to Z$ が存在する
- 恒等射との合成は何も変化しない： $1_Y f = f, f 1_X = f$
- 射の合成は推移的： $h(g f) = (h g)f \colon X \to W$

例として集合の圏 $\mathrm{Set}$ やベクトル空間の圏 $\mathrm{Vect}_{\mathbb{R}}$ がありますが、他にも $\mathbb{R}$ 自身を次のようにして順序集合の圏と見ることができます：

対象は実数
射は実数 $s, t$ に対して $s \le t$ なら $s \to t$ の射が存在する

また、圏 $\mathcal{C}$ に対して射の向きを全て反対にした反圏(opposite category) $\mathcal{C}^ {\mathrm{op}}$ も定義できます。つまり圏 $\mathcal{C}$ の射 $f \colon X \to Y$ に対して反圏 $\mathcal{C}^ {\mathrm{op}}$ の射は $f \colon Y \to X$ と定めます。なんでこんな概念をわざわざ導入するかは後々わかってきます。端的には圏論の命題を1つ証明するとその双対的な命題も同時に証明できてしまうのが嬉しいのですが、具体例を見ないと理解できないでしょう。（自分も最初理解に困った）